Una prova per la stazionarietà di un AR (2)


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Considera un processo AR (2) centrato sulla media

Xt=ϕ1Xt1+ϕ2Xt2+ϵt
dove ϵt è il processo di rumore bianco standard. Per semplicità, fammi chiamare ϕ1=b e ϕ2=a . Concentrandomi sulle radici dell'equazione delle caratteristiche ho ottenuto
z1,2=b±b2+4a2a
Le condizioni classiche nei libri di testo sono le seguenti:
{|a|<1a±b<1
Ho provato a risolvere manualmente (con l'aiuto di Mathematica) le disuguaglianze sulle radici, cioè il sistemaottenendo soloPuò la terza condizione () recupera sommando le due precedenti soluzioni ottenendoa+b+a-b<2a<1
{|bb2+4a2a|>1|b+b2+4a2a|>1
a±b<1
|a|<1a+b+ab<2a<1che attraverso alcune considerazioni il segno diventa ? O mi manca una soluzione?|a|<1

Risposte:


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La mia ipotesi è che l'equazione caratteristica da cui si sta partendo è diversa dalla mia. Vorrei procedere in un paio di passaggi per vedere se siamo d'accordo.

Considera l'equazione

λ2ϕ1λϕ2=0

Se z è una radice dell'equazione caratteristica "standard" 1ϕ1zϕ2z2=0 e l'impostazione z1=λ , il display ottiene dalla riscrittura di quello standard come segue:

1ϕ1zϕ2z2=0z2ϕ1z1ϕ2=0λ2ϕ1λϕ2=0
Quindi, una condizione alternativa per la stabilità di unaAR(2)è che tutte le radici del primo display sonoall'internodel cerchio unitario,|z|>1|λ|=|z1|<1.

AR(2)AR(2)

  1. ϕ2<1+ϕ1
  2. ϕ2<1ϕ1
  3. ϕ2>1

λ1,2=ϕ1±ϕ12+4ϕ22
per trovare le prime due condizioni.

Quindi, AR(2) è stazionaria iff |λ|<1 , quindi (se λi sono reali):

1<ϕ1±ϕ12+4ϕ22<12<ϕ1±ϕ12+4ϕ2<2
Il più grande dei dueλiè delimitato daϕ1+ϕ12+4ϕ2<2, oppure:
ϕ1+ϕ12+4ϕ2<2ϕ12+4ϕ2<2ϕ1ϕ12+4ϕ2<(2ϕ1)2ϕ12+4ϕ2<44ϕ1+ϕ12ϕ2<1ϕ1
ϕ2<1+ϕ1

λiϕ12<4ϕ2

λ1,2=φ1/2±io-(φ12+4φ2)/2.
Il modulo quadrato di un numero complesso è il quadrato del reale più il quadrato della parte immaginaria. Quindi,
λ2=(ϕ1/2)2+((ϕ12+4ϕ2)/2)2=ϕ12/4(ϕ12+4ϕ2)/4=ϕ2.
This is stable if |λ|<1, hence if ϕ2<1 or ϕ2>1, as was to be shown. (The restriction ϕ2<1 resulting from ϕ22<1 is redundant in view of ϕ2<1+ϕ1 and ϕ2<1ϕ1.)

Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Produced in R using

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

questa è una spiegazione molto dettagliata.
Marco

@Christoph: Is there a typo in the answer? Look at equation for λ2. Also, what do you mean by square of a complex number? If z=a+bi then z2=a2b2+2iab. How do you say square of a complex number is "square of the real plus the square of the imaginary part"
shani,

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Grazie, giusto! Mi riferivo al modulo sqaured, vedi la modifica.
Christoph Hanck,

@ChristophHanck, cosa ne pensi delle risposte di Aksakal in questi due thread: 1 e 2 ? Sono in conflitto con la tua risposta e, in caso affermativo, qual è la risposta corretta?
Richard Hardy,

Penso che abbia perfettamente ragione nel definire la debole stazionarietà come costanza dei primi due momenti. Spesso, e anche nel presente filo, "stazionarietà" ed "esistenza di una rappresentazione causale", cioè un sommabileMUN()rappresentanza senza dipendenza dal futuro, si fondono. Ciò che la mia risposta mostra quindi più precisamente sono le condizioni per l'esistenza di quest'ultima.
Christoph Hanck,
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