Perché una funzione di distribuzione cumulativa (CDF) definisce in modo univoco una distribuzione?

Mi è sempre stato detto che un CDF è unico, tuttavia un PDF / PMF non è unico, perché? Puoi fare un esempio in cui un PDF / PMF non è univoco?

— DKangeyan
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[0, 1]

$[0,1]$

(0, 1)

$(0,1)$

Pr (j 2^{- i}) = 2^{1 - 2 i}

$\Pr(j2^{-i})=2^{1-2i}$

0 < j 2^{- i} < 1

$0\lt j2^{-i}\lt 1$

i \geq 1

$i\ge 1$

j

$j$

Non tutte le distribuzioni hanno nemmeno un PDF o un PMF, mentre guardare il CDF offre una visione unificante delle cose. Le variabili continue hanno CDF dall'aspetto uniforme, le variabili discrete hanno una "scala" e alcuni CDF sono misti.

— Silverfish

@Silverfish: ... e alcuni non sono tra i precedenti! :-)

— Cardinale

Per affrontare il titolo (forse un po 'vagamente), il CDF definisce una distribuzione perché il CDF (o equivalentemente solo DF /' funzione di distribuzione '; la "C" agisce solo per chiarire che l'oggetto di cui stiamo parlando) è quello che il termine 'distribuzione' si riferisce letteralmente a; la "D" è l'indizio su quella parte. Il fatto che sia univoco segue dalla "F" - le funzioni hanno un valore singolo, quindi se due funzioni di distribuzione sono identiche l'oggetto che definiscono è lo stesso; se i DF differissero ovunque la loro definizione sarebbe diversa in quei punti. È tautologia? Io penso che sia.

— Glen_b -Restate Monica

@Glen_b È tautologico solo per l'intuizione allenata. Una funzione di distribuzione

F

$F$ fornisce solo le probabilità della forma

F (x) = Pr {ω \in Ω | X (ω) \leq x}

$F(x)=\Pr\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\le x\}$ mentre l'intera distribuzione specifica le probabilità della forma

Pr ({ω \in Ω | X (ω) \in B}

$\Pr(\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\in\mathcal{B}\}$ per insiemi misurabili arbitrari

B \subset R

$\mathcal{B}\subset\mathbb R$ Devi mostrare che

F

$F$ determina la distribuzione. Come sottolinea NicholasB, si tratta di estendere una pre-misura da un semianello (di intervalli semiaperti),

μ ((a, b]) = F (b) - F (a)

$\mu((a,b])=F(b)-F(a)$ , a tutto il campo sigma di Lebesgue e mostrando che è unico

— whuber

Risposte:

Ricordiamo alcune cose. Let essere uno spazio di probabilità , è il nostro set di prova, è la nostra -algebra, e è una funzione di probabilità definita su . Una variabile casuale è una funzione misurabile cioè per qualsiasi sottoinsieme misurabile di Lebesgue in . Se non hai familiarità con questo concetto, tutto ciò che dico dopo non avrà alcun senso. $(\Omega,A,P)$ $\Omega$ $A$ $\sigma$ $P$ $A$ $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $X^{-1}(S) \in A$ $\mathbb{R}$

Ogni volta che abbiamo una variabile casuale, da , induce una misura di probabilità su dal pushforward categorico. In altre parole, . È banale verificare che sia la misura di probabilità su . Chiamiamo la distribuzione di . $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $X'$ $\mathbb{R}$ $X'(S) = P(X^{-1}(S))$ $X'$ $\mathbb{R}$ $X'$ $X$

Ora collegato a questo concetto c'è qualcosa chiamato funzione di distribuzione di una variabile di funzione. Data una variabile casuale definiamo . Le funzioni di distribuzione hanno le seguenti proprietà: $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $F(x) = P(X\leq x)$ $F:\mathbb{R} \to [0,1]$

ècontinuo a destra. $F$
è non decrescente $F$
e . $F(\infty) = 1$ $F(-\infty)=0$

Le variabili chiaramente casuali uguali hanno la stessa funzione di distribuzione e distribuzione.

Invertire il processo e ottenere una misura con la funzione di distribuzione specificata è piuttosto tecnico. Supponiamo che ti venga assegnata una funzione di distribuzione . Definisci . Devi dimostrare che è una misura sulla semi-algebra degli intervalli di . Successivamente puoi applicare il teorema di estensione Carathéodory estendere a una misura di probabilità su $F(x)$ $\mu(a,b] = F(b) - F(a)$ $\mu$ $(a,b]$ $\mu$ $\mathbb{R}$ .

— Nicolas Bourbaki
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Questo è un buon inizio per una risposta, ma potrebbe oscurare involontariamente la questione a portata di mano. Il problema principale sembra mostrare che due misure con la stessa funzione di distribuzione sono, in effetti, uguali. Ciò non richiede altro che il teorema

di Dynkin e il fatto che insiemi della forma

formano un sistema

che genera l' algebra di Borel

. Quindi la non unicità di una densità (supponendo che esista!) Può essere affrontato e contrastato con quanto sopra.

π

$\pi$

λ

$\lambda$

(- \infty, b]

$(-\infty, b]$

π

$\pi$

σ

$\sigma$

— Cardinale

(Un altro piccolo cavillo: le variabili casuali sono generalmente definite in termini di set di Borel piuttosto che di set di Lebesgue.) Penso che con alcune modifiche minori questa risposta diventerà abbastanza chiara. :-)

— cardinale il

@cardinale Penso prima all'analisi, poi alla probabilità. Pertanto, questo potrebbe spiegare perché preferisco pensare ai set di Lebesgue. In entrambi i casi non influisce su ciò che è stato detto.

— Nicolas Bourbaki,

Per rispondere alla richiesta di un esempio di due densità con lo stesso integrale (ovvero avere la stessa funzione di distribuzione) considerare queste funzioni definite sui numeri reali:

 f(x) = 1 ; when x is odd integer
 f(x) = exp(-x^2)  ; elsewhere

e poi;

 f2(x) = 1  ; when x is even integer
 f2(x) = exp(-x^2) ;  elsewhere

Non sono affatto uguali x, ma sono entrambe densità per la stessa distribuzione, quindi le densità non sono determinate in modo univoco dalla distribuzione (cumulativa). Quando le densità con un dominio reale sono diverse solo su un insieme numerabile di valori x, gli integrali saranno gli stessi. L'analisi matematica non è realmente per i deboli di cuore o per la mente decisamente concreta.

— DWin
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Non sono d'accordo con l'affermazione, "la funzione di distribuzione di probabilità non determina in modo univoco una misura di probabilità", che dici nella tua domanda iniziale. Lo determina in modo univoco.

Sia due funzioni di massa di probabilità. Se, Per qualsiasi set misurabile allora quasi ovunque. Questo determina in modo univoco il pdf (perché in analisi non ci interessa se non sono d'accordo su un set di misura zero). $f_1,f_2:\mathbb{R}\to [0,\infty)$

\int_{E} f_{1} = \int_{E} f_{2}

$\int_E f_1 = \int_E f_2$

E

$E$

f_{1} = f_{2}

$f_1=f_2$

Possiamo riscrivere l'integrale sopra in, Dove è una funzione integrabile.

\int_{E} g = 0

$\int_E g = 0$

g = f_{1} - f_{2}

$g=f_1-f_2$

Definisci , quindi . Usiamo il noto teorema che se un integrale di una funzione non negativa è zero, allora la funzione è zero quasi ovunque. In particolare, ae su . Quindi ae su . Ora ripeti l'argomento nell'altra direzione con $E = \{ x \in \mathbb{R} ~ | ~ g \geq 0 \}$ $\int_E g = 0$ $g=0$ $E$ $f_1 = f_2$ $E$ $F = \{ x\in \mathbb{R} ~ | ~ g \leq 0 \}$ . Avremo che ae su . Così, ae su . $f_1 = f_2$ $F$ $f_1 = f_2$ $E\cup F = \mathbb{R}$

— Nicolas Bourbaki
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