Come funziona il metodo di trasformazione inversa?

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Come funziona il metodo di inversione?
Supponiamo di avere un campione casuale con densità over e quindi con cdf su . Quindi con il metodo di inversione ottengo la distribuzione di come . $X_1,X_2,...,X_n$ $f(x;\theta)={1\over \theta} x^{(1-\theta)\over \theta}$
$0<x<1$ $F_X(x)=x^{1/\theta}$ $(0,1)$ $X$ $F_X^{-1}(u)=u^\theta$

Quindi $u^\theta$ ha la distribuzione di $X$ ? È così che funziona il metodo di inversione?

u<-runif(n)
x<-u^(theta)

— Clarkson
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Vedi i nostri thread sulla trasformazione integrale di probabilità .

— whuber

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Sì, sebbene di solito venga chiamata "trasformazione integrale di probabilità". Prova a derivare la funzione di distribuzione di

F^{- 1} (U)

$F^{-1}(U)$ per vedere perché funziona.

— dsaxton,

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Il metodo è molto semplice, quindi lo descriverò in parole semplici. Innanzitutto, prendi la funzione di distribuzione cumulativa di una distribuzione da cui desideri campionare. La funzione prende come input un valore e ti dice qual è la probabilità di ottenere . Così $F_X$ $x$ $X \leq x$

F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = p

$F_X(x) = \Pr(X \leq x) = p$

inverso di tale funzione, prendere come input e restituire . Si noti che s' sono uniformemente distribuiti - questo potrebbero essere utilizzati per il campionamento da qualsiasi se si sa . Il metodo è chiamato campionamento della trasformata inversa . L'idea è molto semplice: è facile valori campione uniformemente da , quindi se si vuole campione da qualche , basta prendere i valori e passare attraverso per ottenere 's $F_X^{-1}$ $p$ $x$ $p$ $F_X$ $F_X^{-1}$ $U(0, 1)$ $F_X$ $u \sim U(0, 1)$ $u$ $F_X^{-1}$ $x$

F_{X}^{- 1} (u) = x

$F_X^{-1}(u) = x$

o in R (per distribuzione normale)

U <- runif(1e6)
X <- qnorm(U)

Per visualizzarlo, guarda CDF qui sotto, in generale, pensiamo alle distribuzioni in termini di guardare l' asse per le probabilità dei valori dell'asse . Con questo metodo di campionamento facciamo il contrario e iniziamo con "probabilità" e li usiamo per scegliere i valori ad essi correlati. Con distribuzioni discrete tratti come una linea da a e valori assegnare in base a dove fa qualche punto giacciono su questa linea (ad esempio se o se per il campionamento da ). $y$ $x$ $U$ $0$ $1$ $u$ $0$ $0 \leq u < 0.5$ $1$ $0.5 \leq u \leq 1$ $\mathrm{Bernoulli}(0.5)$

Sfortunatamente, questo non è sempre possibile poiché non tutte le funzioni hanno il loro contrario, ad esempio non è possibile utilizzare questo metodo con distribuzioni bivariate. Inoltre , non deve essere il metodo più efficiente in tutte le situazioni, in molti casi esistono algoritmi migliori.

Chiedi anche qual è la distribuzione di . Poiché è un inverso di , quindi e , quindi sì, i valori ottenuti usando tale metodo ha la stessa distribuzione di . Puoi verificarlo con una semplice simulazione $F_X^{-1}(u)$ $F_X^{-1}$ $F_X$ $F_X(F_X^{-1}(u)) = u$ $F_X^{-1}(F_X(x)) = x$ $X$

U <- runif(1e6)
all.equal(pnorm(qnorm(U)), U)

— Tim
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Buona risposta. Questo metodo funziona quando si hanno distribuzioni come esponenziale, Cauchy, Geometrica, Pareto, Logistica, Extreme Weibull di valore , ecc. Ad esempio non è possibile trovare un modulo chiuso per una distribuzione normale . Pertanto non sarà possibile utilizzare questo metodo. Potresti provare altri metodi come il metodo di rifiuto .

— Abbas Salimi

2

È possibile utilizzare il metodo di trasformazione inversa con la distribuzione normale. Esistono numerose implementazioni là fuori per il normale CDF inverso . Ad esempio, è possibile scrivere un normale CDF inverso utilizzando la funzione di errore complementare . Un'implementazione di esempio di erfc è qui . Non codificare te stesso; usa una biblioteca. L'assenza di una formula in forma chiusa non implica che non è possibile utilizzare approssimazioni numeriche di alta qualità.

— Matthew Gunn,

2

Sì, ha la distribuzione di . $U^θ$ $X$

Due ulteriori punti sull'intuizione dietro il metodo di trasformazione inversa potrebbero essere utili

(1) Per capire cosa significa effettivamente , fai riferimento a un grafico nella risposta di Tim per aiutarmi a capire la funzione quantile (CDF inversa) $F^{-1}$

(2) [Per favore, ignora semplicemente quanto segue, se porta più confusione invece di chiarezza]

Sia qualsiasi variabile aleatoria (rv) con cdf continuo e rigorosamente crescente . Quindi Nota sulla notazione: è un camper Pertanto, la funzione di camper , è un camper stesso. $X$ $F$

F (X) \sim Unif (0, 1)

$F(X) \sim \text{Unif}(0,1)$

X

$X$

X

$X$

F (X)

$F(X)$

Ad esempio, se volessi invertire la domanda, in modo da avere accesso a e volessi generare un'uniforme standard, allora . Lasciare chiamare questa variabile casuale . Così Tornando alla tua domanda, voi avete il compito opposto: per generare di . Quindi, in effetti $X$ $X^{1/\theta} \sim \text{Unif}(0,1)$ $U$

U = X^{1 / θ}

$U = X^{1/\theta}$

X

$X$

U

$U$

X = U^{θ}

$X=U^\theta$

PS. Nomi alternativi per il metodo sono la trasformazione integrale di probabilità, il campionamento della trasformazione inversa, la trasformazione quantile e, in alcune fonti, "il teorema fondamentale della simulazione".

— den2042
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