Trasformazione delle statistiche degli ordini

Supponiamo che le variabili casuali e siano indipendenti e distribuite da . Mostra che ha un distribuzione. $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

Ho iniziato questo problema impostando $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ Quindi il $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ verrebbe distribuito come $(\frac{z}{a})^{2n}$ e $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ verrebbe distribuito come $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ Le densità possono essere trovate facilmente come $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ e $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

È qui che faccio fatica a sapere dove andare adesso, ora che questi sono calcolati. Sto pensando che debba fare qualcosa con una trasformazione, ma non sono sicuro ...

self-study data-transformation order-statistics

— Susan
fonte

Sicuramente è necessario supporre in aggiunta che non solo

X_{i}

$X_i$ e

Y_{i}

$Y_i$ iid, ma anche

X_{i}

$X_i$ siano indipendenti da

Y_{j}

$Y_j$ . Detto questo, hai pensato di lavorare direttamente con

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ ?

— whuber

@whuber il mio pensiero dal tuo commento sarebbe quello di impostare una trasformazione in cui risolvo la densità di n * log (Z )?

_{i}

$_i$

— Susan,

Ho fatto un po 'di formattazione (specialmente trasformando e in e ) ma se non ti piace com'è, puoi tornare alla versione precedente (facendo clic sul link "modificato <x> ago" sopra il mio gravatar nella parte inferiore del tuo post) e quindi facendo clic sul link "rollback" sopra la versione precedente.

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— Glen_b

Susan, sembra che tu abbia frainteso / frainteso la domanda. La domanda cerca il rapporto di Il denominatore si riferisce a : dove è la statistica dell'ordine massimo di s, e è la statistica dell'ordine massimo di S. In altre parole, cerca min (maxX, maxy), non il minimo di tutto il s e s, quindi non è possibile utilizzare il trucco Z per appiattire / combinare tutti i valori X e Y. .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— wolfies il

In ogni caso, e come questione separata, non ha senso (come hai fatto) calcolare la densità di e separatamente la densità di , perché le diverse statistiche dell'ordine non sono generalmente indipendente. Per trovare il rapporto di , bisognerebbe prima trovare il pdf congiunto di , se quello era il problema a portata di mano (che non lo è).

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— Lupi il

Risposte:

Questo problema può essere risolto dalle sole definizioni: l'unico calcolo avanzato è l'integrale di un monomio.

Osservazioni preliminari

Lavoriamo con le variabili e tutto: questo non cambia ma rende iid con distribuzioni Uniform , eliminando tutti gli aspetti di distrazione di nei calcoli. Quindi possiamo assumere senza alcuna perdita di generalità. $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

Tieni presente che l'indipendenza di e la loro distribuzione uniforme implica che per qualsiasi numero per il quale , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

con un risultato identico, trattenendo . Per riferimento futuro, questo ci consente di calcolare $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

Soluzione

Diamo essere un numero reale positivo. Per trovare la distribuzione di , sostituire la sua definizione e semplificare la disuguaglianza risultante: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

Questo evento si divide in due casi equiprobabili, a seconda che o sia il più piccolo dei due (e la loro intersezione, con probabilità zero, può essere ignorata). Quindi abbiamo solo bisogno di calcolare la possibilità di uno di questi casi (diciamo dove è il più piccolo) e raddoppiarlo. Dato che , , ci consente (dopo aver lasciato di interpretare il ruolo di ) applicare i calcoli nella sezione preliminare: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

Questo è ciò che significa per avere una distribuzione Exp . $Z_n$ $(1)$

— whuber
fonte

Disegnerò la soluzione, qui usando un sistema di algebra per computer per fare le chiacchiere ...

Soluzione

Se è un campione di dimensione su parent , il pdf del massimo del campione è: e similmente per . $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

Approccio 1: trova il pdf congiunto di $(X_{(n)},Y_{(n)})$

Poiché e sono indipendenti, il pdf congiunto dei 2 massimi del campione è semplicemente il prodotto dei 2 pdf, diciamo : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

Dato . Quindi, il di è è: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

dove sto usando la Probfunzione dal pacchetto mathStatica per automatizzare Mathematica . Differenziando il ottiene il pdf di come esponenziale standard. $z$ $Z_n$

Approccio 2: statistiche sugli ordini

Possiamo usare le statistiche degli ordini per "bypassare" la meccanica di dover gestire le funzioni Max e Min.

Ancora una volta: se è un campione di dimensione sul parent , allora il pdf del campione massimo è, diciamo, : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

I massimi di esempio e sono solo due disegni indipendenti da questa distribuzione di ; cioè le statistiche dell'ordine e di (in un campione di dimensione 2) sono proprio quello che stiamo cercando: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

Il pdf congiunto di , in un campione di dimensione 2, ad esempio , È: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

Dato . Quindi, il di è è: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

Il vantaggio di questo approccio è che il calcolo della probabilità non coinvolge più le funzioni max / min, il che può rendere la derivazione (specialmente a mano) in qualche modo più semplice da esprimere.

Altro

Secondo il mio commento sopra, sembra che tu abbia frainteso la domanda ...

Ci viene chiesto di trovare:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

dove il denominatore è min (xMax, yMax), ... non il minimo di tutte le 's e ' s. $X$ $Y$

— Wolfies
fonte

Seguendo il tuo schizzo, capisco come ho frainteso la domanda. Capisco come calcolare il pdf congiunto dei due massimi di esempio, ma non sono ancora sicuro di come interpretare il rapporto di max / min.

— Susan,

Ho aggiunto una derivazione alternativa usando le statistiche dell'ordine, che "elude" il massimo / minimo.

— Lupi,

Se avessi iniziato con i registri dei dati, Susan, allora guarderesti alle differenze delle statistiche sugli ordini piuttosto che ai rapporti .

— whuber

Non sono convinto che utilizzare i calcoli formali al computer sia il modo migliore per spiegare il motivo per cui il rapporto è una variabile casuale Exp (1).

— Xi'an,

Un buon punto ... tranne l'OP non chiede il motivo ... ma per dimostrare che è Exp [1]. Non sono inoltre sicuro che si tratti di compiti a casa (o di un incarico) ... e che in realtà sia un bel vantaggio dell'uso di un computer: uno fornisce i passaggi da seguire, verifica il risultato, in modo da avere l'approccio giusto , ma i meccanici sono ancora lasciati all'OP. Sarebbe bello che qualcuno esplorasse il suggerimento di @ whuber di prendere i registri all'inizio.

— Lupi,