Pdf del quadrato di una variabile casuale normale standard [chiuso]


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Ho questo problema dove devo trovare il pdf di Y=X2 . Tutto quello che so è che X ha la distribuzione N(0,1) . Che tipo di distribuzione è Y=X2 ? Come X ? Come trovo il pdf?


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Il pdf di Y=X2 non può essere uguale a quello di X poiché Y non sarà negativo.
JohnK,

Beh, mi sto esercitando per un test, quindi no, non sono i compiti. Sto cercando di risolverli da solo, ma non riesco a capirlo
Melye77,

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Aggiungi il [self-study]tag e leggi la sua wiki . Quindi dicci cosa hai capito finora, cosa hai provato e dove sei bloccato. Forniremo suggerimenti per aiutarti a rimanere bloccato.
gung - Ripristina Monica

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Se stai cercando risposte dirette a questa particolare domanda, tieni presente che le domande di routine di tipo "bookwork" come questa dovrebbero contenere il self-studytag (e dovresti leggere il suo tag-wiki e modificare la tua domanda per seguire le linee guida su come chiedere domande: dovrai identificare chiaramente ciò che hai fatto per risolvere tu stesso il problema e indicare l'aiuto specifico di cui hai bisogno nel momento in cui hai incontrato difficoltà). ... ctd
Glen_b -Restate Monica

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ctd ... d'altra parte, se stai cercando risposte a una domanda generale di questo tipo (come "come posso ottenere il pdf di una variabile casuale trasformata? '), è una domanda perfettamente valida, che è già stata ha risposto sul sito alcune volte.
Glen_b -Restate Monica

Risposte:


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Ti sei imbattuto in uno dei risultati più famosi della teoria e della statistica delle probabilità. Scriverò una risposta, anche se sono sicuro che questa domanda è stata posta (e risposta) prima su questo sito.

Innanzitutto, nota che il pdf di non può essere uguale a quello di poiché non sarà negativo. Per derivare la distribuzione di possiamo usare tre metodi, vale a dire la tecnica mgf, la tecnica cdf e la tecnica di trasformazione della densità. Cominciamo.Y=X2XYY

Tecnica della funzione generatrice dei momenti .

O tecnica caratteristica caratteristica, qualunque cosa tu voglia. Dobbiamo trovare il mgf di . Quindi dobbiamo calcolare le aspettativeY=X2

E[etX2]

Utilizzando la Legge dell'Inconscio Statistico , tutto quello che dobbiamo fare è calcolare questo integrale sulla distribuzione di . Quindi abbiamo bisogno di calcolareX

E[etX2]=12πetx2ex22dx=12πexp{x22(12t)}dt=(12t)1/2(12t)1/212πexp{x22(12t)}dt=(12t)1/2,t<12

dove nell'ultima riga abbiamo confrontato l'integrale con un integrale gaussiano con zero medio e varianza . Naturalmente questo si integra con uno sulla linea reale. Cosa puoi fare con quel risultato adesso? Bene, puoi applicare una trasformazione inversa molto complessa e determinare il pdf che corrisponde a questo MGF o potresti semplicemente riconoscerlo come MGF di una distribuzione chi-quadro con un grado di libertà. (Ricorda che una distribuzione chi-quadrata è un caso speciale di una distribuzione gamma con , essendo i gradi di libertà e ).1(12t)α=r2rβ=2

Tecnica CDF

Questa è forse la cosa più semplice che puoi fare ed è suggerita da Glen_b nei commenti. Secondo questa tecnica, calcoliamo

FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(|X|y)

e poiché le funzioni di distribuzione definiscono le funzioni di densità, dopo aver ottenuto un'espressione semplificata ci differenziamo rispetto a per ottenere il nostro pdf. Abbiamo quindiy

FY(y)=P(|X|y)=P(y<X<y)=Φ(y)Φ(y)

dove indica il CDF di una variabile normale standard. Differenziando rispetto a otteniamo,Φ(.)y

fY(y)=FY(y)=12yϕ(y)+12yϕ(y)=1yϕ(y)

dove è ora il pdf di una variabile normale standard e abbiamo usato il fatto che è simmetrico su zero. Quindiϕ(.)

fY(y)=1y12πey2,0<y<

che riconosciamo come il pdf di una distribuzione chi-quadrata con un grado di libertà (a questo punto potresti vedere uno schema).

Tecnica di trasformazione della densità

A questo punto potresti chiederti, perché non usiamo semplicemente la tecnica di trasformazione con cui hai familiarità, cioè per una funzione abbiamo che la densità di è data daY=g(X)Y

fY(y)=|ddyg1(y)|fX(g1(y))

per nell'intervallo di . Sfortunatamente questo teorema richiede che la trasformazione sia uno a uno, il che chiaramente non è il caso qui. In effetti, possiamo vedere che due valori di danno come risultato lo stesso valore di , essendo una trasformazione quadratica. Pertanto, questo teorema non è applicabile.ygXYg

Ciò che è applicabile, tuttavia, è un'estensione di esso. Sotto questa estensione, possiamo scomporre il supporto di (supporto indica i punti in cui la densità è diversa da zero), in insiemi disgiunti in modo tale che definisca una trasformazione uno a uno da questi insiemi nell'intervallo di . La densità di è quindi data dalla somma di tutte queste funzioni inverse e dei corrispondenti assoluti giacobiani. Nella notazione sopraXY=g(X)gY

fY(y)=|ddyg1(y)|fX(g1(y))

dove la somma scorre su tutte le funzioni inverse. Questo esempio lo chiarirà.

Per , abbiamo due funzioni inverse, vale a dire con corrispondente stile giacobino corrispondente e quindi il pdf corrispondente è trovato per esserey=x2x=±y12y

fY(y)=12y12πey/2+12y12πey/2=1y12πey/2,0<y<

il pdf di una distribuzione chi-quadrata con un grado di libertà. Da un lato, trovo questa tecnica particolarmente utile in quanto non è più necessario derivare il CDF della trasformazione. Ma ovviamente, questi sono gusti personali.


Quindi puoi andare a letto stasera con la certezza che il quadrato di una normale variabile casuale normale segue la distribuzione chi-quadrata con un grado di libertà.


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In genere non forniamo risposte complete a domande di studio autonomo, ma solo suggerimenti. Il fatto che l'OP non abbia aggiunto il tag o abbia tentato di aderire alle nostre politiche significa che questa discussione dovrebbe essere chiusa. Puoi trovare la nostra politica sulle domande di studio autonomo qui .
gung - Ripristina Monica

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@gung Sono certo che l'OP avrebbe potuto trovare la risposta ovunque, questo non è esattamente rivoluzionario :)
JohnK,

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Questo sarà praticamente sempre vero con le domande di studio autonomo. Tuttavia, in genere non forniamo risposte complete ai compiti delle persone per loro, ma solo suggerimenti per aiutarli a capirlo da soli.
gung - Ripristina Monica

@JohnK, grazie per la risposta. Solo una domanda su ciò che hai scritto sulla tecnica CDF: non dovrebbe essere fY(y)=12FY . Il motivo è: fY(y)=ddyP(yYy)=fY(y)(fY(y))=2fY(y) . L'ho imparato qui (vedi l'ultimo commento di 'Reinstate Monica'). Grazie
DomB il
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