Pdf del quadrato di una variabile casuale normale standard [chiuso]

Ho questo problema dove devo trovare il pdf di $Y = X^2$ . Tutto quello che so è che $X$ ha la distribuzione $N(0,1)$ . Che tipo di distribuzione è $Y = X^2$ ? Come $X$ ? Come trovo il pdf?

Ti sei imbattuto in uno dei risultati più famosi della teoria e della statistica delle probabilità. Scriverò una risposta, anche se sono sicuro che questa domanda è stata posta (e risposta) prima su questo sito.

Innanzitutto, nota che il pdf di non può essere uguale a quello di poiché non sarà negativo. Per derivare la distribuzione di possiamo usare tre metodi, vale a dire la tecnica mgf, la tecnica cdf e la tecnica di trasformazione della densità. Cominciamo.$Y = X^2$$X$$Y$$Y$

Tecnica della funzione generatrice dei momenti .

O tecnica caratteristica caratteristica, qualunque cosa tu voglia. Dobbiamo trovare il mgf di . Quindi dobbiamo calcolare le aspettative$Y=X^2$

$$E\left[e^{tX^2}\right]$$

Utilizzando la Legge dell'Inconscio Statistico , tutto quello che dobbiamo fare è calcolare questo integrale sulla distribuzione di . Quindi abbiamo bisogno di calcolare$X$

$$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$$

dove nell'ultima riga abbiamo confrontato l'integrale con un integrale gaussiano con zero medio e varianza . Naturalmente questo si integra con uno sulla linea reale. Cosa puoi fare con quel risultato adesso? Bene, puoi applicare una trasformazione inversa molto complessa e determinare il pdf che corrisponde a questo MGF o potresti semplicemente riconoscerlo come MGF di una distribuzione chi-quadro con un grado di libertà. (Ricorda che una distribuzione chi-quadrata è un caso speciale di una distribuzione gamma con , essendo i gradi di libertà e ).$\frac{1}{\left(1-2t\right)}$$\alpha = \frac{r}{2}$$r$$\beta = 2$

Tecnica CDF

Questa è forse la cosa più semplice che puoi fare ed è suggerita da Glen_b nei commenti. Secondo questa tecnica, calcoliamo

$$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$$

e poiché le funzioni di distribuzione definiscono le funzioni di densità, dopo aver ottenuto un'espressione semplificata ci differenziamo rispetto a per ottenere il nostro pdf. Abbiamo quindi$y$

$$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$$

dove indica il CDF di una variabile normale standard. Differenziando rispetto a otteniamo,$\Phi(.)$$y$

$$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$$

dove è ora il pdf di una variabile normale standard e abbiamo usato il fatto che è simmetrico su zero. Quindi$\phi(.)$

$$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$$

che riconosciamo come il pdf di una distribuzione chi-quadrata con un grado di libertà (a questo punto potresti vedere uno schema).

Tecnica di trasformazione della densità

A questo punto potresti chiederti, perché non usiamo semplicemente la tecnica di trasformazione con cui hai familiarità, cioè per una funzione abbiamo che la densità di è data da$Y = g(X)$$Y$

$$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

per nell'intervallo di . Sfortunatamente questo teorema richiede che la trasformazione sia uno a uno, il che chiaramente non è il caso qui. In effetti, possiamo vedere che due valori di danno come risultato lo stesso valore di , essendo una trasformazione quadratica. Pertanto, questo teorema non è applicabile.$y$$g$$X$$Y$$g$

Ciò che è applicabile, tuttavia, è un'estensione di esso. Sotto questa estensione, possiamo scomporre il supporto di (supporto indica i punti in cui la densità è diversa da zero), in insiemi disgiunti in modo tale che definisca una trasformazione uno a uno da questi insiemi nell'intervallo di . La densità di è quindi data dalla somma di tutte queste funzioni inverse e dei corrispondenti assoluti giacobiani. Nella notazione sopra$X$$Y= g(X)$$g$$Y$

$$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

dove la somma scorre su tutte le funzioni inverse. Questo esempio lo chiarirà.

Per , abbiamo due funzioni inverse, vale a dire con corrispondente stile giacobino corrispondente e quindi il pdf corrispondente è trovato per essere$y = x^2$$x = \pm \sqrt{y}$$\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

$$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$$

il pdf di una distribuzione chi-quadrata con un grado di libertà. Da un lato, trovo questa tecnica particolarmente utile in quanto non è più necessario derivare il CDF della trasformazione. Ma ovviamente, questi sono gusti personali.

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Quindi puoi andare a letto stasera con la certezza che il quadrato di una normale variabile casuale normale segue la distribuzione chi-quadrata con un grado di libertà.