Poisson o quasi poisson in una regressione con dati di conteggio e sovradispersione?

Ho i dati di conteggio (analisi della domanda / offerta con il numero di conteggio dei clienti, a seconda - possibilmente - di molti fattori). Ho provato una regressione lineare con errori normali, ma la mia trama QQ non è davvero buona. Ho provato una trasformazione del registro della risposta: ancora una volta, trama QQ errata.

Quindi ora sto provando una regressione con errori di Poisson. Con un modello con tutte le variabili significative, ottengo:

Null deviance: 12593.2  on 53  degrees of freedom
Residual deviance:  1161.3  on 37  degrees of freedom
AIC: 1573.7

Number of Fisher Scoring iterations: 5

La devianza residua è maggiore dei gradi di libertà residua: ho una sovraispersione.

Come posso sapere se devo usare quasipoisson? Qual è l'obiettivo di quasipoisson in questo caso? Ho letto questo consiglio in "The R Book" di Crawley, ma non vedo il punto né un grande miglioramento nel mio caso.

Quando si cerca di determinare quale tipo di equazione glm si desidera stimare, si dovrebbe pensare a relazioni plausibili tra il valore atteso della variabile target data le variabili del lato destro (rhs) e la varianza della variabile target date le variabili rhs. I grafici dei residui rispetto ai valori adattati del modello normale possono essere di aiuto. Con la regressione di Poisson, la relazione assunta è che la varianza è uguale al valore atteso; piuttosto restrittivo, penso che sarai d'accordo. Con una regressione lineare "standard", si presume che la varianza sia costante indipendentemente dal valore atteso. Per una regressione quasi-poisson, si presume che la varianza sia una funzione lineare della media; per regressione binomiale negativa, una funzione quadratica.

Tuttavia, non sei limitato a queste relazioni. La specifica di una "famiglia" (diversa da "quasi") determina la relazione media-varianza. Non ho The R Book, ma immagino che abbia una tabella che mostra le funzioni familiari e le corrispondenti relazioni di media varianza. Per la famiglia "quasi" puoi specificare una qualsiasi delle diverse relazioni di media varianza e puoi persino scrivere la tua; vedere la documentazione di R . È possibile che tu riesca a trovare un adattamento molto migliore specificando un valore non predefinito per la funzione di varianza media in un modello "quasi".

Dovresti anche prestare attenzione all'intervallo della variabile target; nel tuo caso si tratta di dati di conteggio non negativi. Se hai una frazione sostanziale di valori bassi - 0, 1, 2 - le distribuzioni continue probabilmente non si adatteranno bene, ma se non lo fai, non c'è molto valore nell'uso di una distribuzione discreta. È raro che consideri le distribuzioni di Poisson e Normal come concorrenti.

Hai ragione, questi dati potrebbero essere sovradispersi. Quasipoisson è un rimedio: stima anche un parametro di scala (che è stato risolto per i modelli di Poisson in quanto la varianza è anche la media) e fornirà un adattamento migliore. Tuttavia, non è più la massima probabilità che cosa stai facendo, e alcuni test e indici del modello non possono essere utilizzati. Una buona discussione può essere trovata in Venables e Ripley, Modern Applied Statistics with S (Sezione 7.5) .

Un'alternativa è usare un modello binomiale negativo, ad esempio la glm.nb()funzione nel pacchetto MASS.