Quali sono le proprietà di una mezza distribuzione di Cauchy?

Attualmente sto lavorando a un problema, in cui ho bisogno di sviluppare un algoritmo Monte Carlo (MCMC) della catena Markov per un modello spaziale statale.

Per essere in grado di risolvere il problema, mi è stata data la seguente probabilità di : p ( ) = 2I ( > 0) / (1+ ). è la deviazione standard di . $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau^2$ $\tau$ $x$

Quindi ora so che è una distribuzione mezza Cauchy, perché la riconosco vedendo esempi e, perché mi è stato detto. Ma non capisco fino in fondo perché si tratta di una distribuzione "Half-Cauchy" e quali proprietà ne derivano.

In termini di proprietà non sono sicuro di ciò che voglio. Sono abbastanza nuovo con questo tipo di teoria econometrica. Quindi è più per me capire la distribuzione e il modo in cui usiamo in un contesto di modello di spazio degli stati. Il modello stesso è simile al seguente:

\begin{aligned} y_{t} & = X_{t} + e_{t} \\ X_{t + 1} & = X_{t} + {un'}_{t + 1} \\ {un'}_{t + 1} & ~ N (0, τ^{2}) \\ p (σ^{2}) & α 1 / σ^{2} \\ p (τ) & = \frac{2 io (τ > 0)}{π (1 + τ^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

Modifica: ho incluso in p ( ). Grazie per averlo segnalato. $\pi$ $\tau$

— Christoph
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Indica quali proprietà ti interessano: dopo tutto, ce ne sono infinitamente molte che si potrebbero descrivere.

— whuber

Le distribuzioni a metà delle distribuzioni simmetriche hanno un'altezza funzionale doppia rispetto al loro intervallo, che è un intervallo a metà, spesso ma non necessariamente a partire da zero .

x \geq 0

$x\geq 0$

— Carl,

Un mezzo Cauchy è una delle metà simmetriche della distribuzione di Cauchy (se non specificato, è la metà giusta che si intende):

Poiché l'area della metà destra di un Cauchy è la densità deve quindi essere raddoppiata. Da qui i 2 nel tuo pdf (anche se manca un come ha notato whuber nei commenti). $\frac12$ $\frac{1}{\pi}$

Il mezzo-Cauchy ha molte proprietà; alcune sono proprietà utili che potremmo desiderare in precedenza.

Una scelta comune per un precedente su un parametro di scala è la gamma inversa (non ultimo, perché è coniugata per alcuni casi familiari). Quando si desidera un precedente debolmente informativo, vengono utilizzati valori di parametro molto piccoli.

Il mezzo-Cauchy ha una coda piuttosto pesante e anche, in alcune situazioni, può essere considerato piuttosto debolmente informativo. Gelman ([1] per esempio) sostiene i half-pri priors (incluso il half-Cauchy) sulla gamma inversa perché hanno un comportamento migliore per valori di parametro piccoli ma lo considerano solo informalmente quando viene utilizzato un parametro su larga scala *. Gelman si è concentrato maggiormente sulla mezza Cauchy negli ultimi anni. L'articolo di Polson e Scott [2] fornisce ulteriori motivi per scegliere in particolare il mezzo Cauchy.

* Il tuo post mostra un mezzo Cauchy standard. Gelman probabilmente non lo sceglierebbe per un precedente. Se non hai alcun senso della scala, ciò equivale a dire che la scala ha la probabilità di essere sopra 1 come sotto 1 (che potrebbe essere quello che vuoi) ma non si adatterebbe con alcune delle cose che Gelman sta sostenendo per.

[1] A. Gelman (2006),
"Precedenti distribuzioni per parametri di varianza in modelli gerarchici"
Bayesian Analysis , vol. 1, N. 3, pagg. 515–533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson e JG Scott (2012),
"On the Half-Cauchy Prior for a Global Scale Parameter"
Analisi bayesiana , vol. 7, n. 4, pagg. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

— Glen_b -Restate Monica
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Il "2" nella formula è superfluo, perché apparentemente la formula ha lo scopo di dare al PDF solo una costante - dopo tutto, manca già il fattore .

1 / π

$1/\pi$

— whuber

@Glen_b, qual è la posizione nella mezza Cauchy nella tua risposta?

— rnorouziano,

@morouzian a quale misura di posizione ti interessa? Considerato come membro di una famiglia in scala di posizione, il modulo standard in discussione ha una posizione di 0 e una scala di 1, ma non sono sicuro che sia quello che stai chiedendo. (La sua mediana è 1, come suggerito verso la fine della mia risposta, se questo aiuta a nessuno.)

— Glen_b -Reinstate Monica