Ho esposto qui ciò che è stato suggerito nei commenti di @jbowman.
Lascia una costante . Lascia che segua un e considera . Poia≥0YiExp(1)Zi=Yi−a
Pr(Zi≤zi∣Yi≥a)=Pr(Yi−a≤zi∣Yi≥a)
⟹Pr(Yi≤zi+a∣Yi≥a)=Pr(Yi≤zi+a,Yi≥a)1−Pr(Yi≤a)
⟹Pr(a≤Yi≤zi+a)1−Pr(Yi≤a)=1−e−zi−a−1+e−ae−a=1−e−zi
che è la funzione di distribuzione di .Exp(1)
Descriviamolo: la probabilità che un rv cada in un intervallo specifico (il numeratore nell'ultima riga), dato che supererà il limite inferiore dell'intervallo (il denominatore), dipende solo dal lunghezza dell'intervallo e non su dove questo intervallo è posizionato sulla linea reale. Exp(1)Questa è una incarnazione della proprietà di " assenza di memoria " della distribuzione esponenziale, qui in un contesto più generale, privo di interpretazioni temporali (e vale per la distribuzione esponenziale in generale)
Ora, condizionando su forziamo ad essere non negativo e, soprattutto, il risultato ottenuto mantiene . Quindi possiamo affermare quanto segue: {Yi≥a}Zi∀a∈R+
Se , quindi . Yi∼Exp(1)∀Q≥0:Zi=Yi−Q≥0 ⟹ Zi∼Exp(1)
Possiamo trovare un che è libero di assumere tutti i valori reali non negativi e per il quale vale sempre la disuguaglianza richiesta (quasi sicuramente)? Se possiamo, allora possiamo rinunciare all'argomento condizionante. Q≥0
E davvero possiamo. È la statistica di ordine minimo , , . Quindi abbiamo ottenutoQ=Y(1)Pr(Yi≥Y(1))=1
Yi∼Exp(1)⟹Yi−Y(1)∼Exp(1)
Ciò significa che
Pr(Yi−Y(1)≤yi−y(1))=Pr(Yi≤yi)
Quindi se la struttura probabilistica di rimane invariata se sottraggiamo la statistica dell'ordine minimo, ne consegue che le variabili casuali e dove indipendenti, sono anche indipendenti poiché il possibile legame tra loro, non ha alcun effetto sulla struttura probabilistica.YiZi=Yi−Y(1)Zj=Yj−Y(1)Yi,YjY(1)
Quindi la somma contiene iid variabili casuali (e uno zero), e così∑ni=1(Yi−Y(1))n−1 Exp(1)
∑i=1n(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)