Equivalenza di (0 + fattore | gruppo) e (1 | gruppo) + (1 | gruppo: fattore) specifiche dell'effetto casuale in caso di simmetria composta

Douglas Bates afferma che i seguenti modelli sono equivalenti "se la matrice varianza-covarianza per gli effetti casuali con valori vettoriali ha una forma speciale, chiamata simmetria composta" ( diapositiva 91 in questa presentazione ):

m1 <- lmer(y ~ factor + (0 + factor|group), data)
m2 <- lmer(y ~ factor + (1|group) + (1|group:factor), data)

Nello specifico Bates utilizza questo esempio:

library(lme4)
data("Machines", package = "MEMSS")

m1a <- lmer(score ~ Machine + (0 + Machine|Worker), Machines)
m2a <- lmer(score ~ Machine + (1|Worker) + (1|Worker:Machine), Machines)

con le uscite corrispondenti:

print(m1a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (0 + Machine | Worker)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 208.3112
Random effects:
 Groups   Name     Std.Dev. Corr     
 Worker   MachineA 4.0793            
          MachineB 8.6253   0.80     
          MachineC 4.3895   0.62 0.77
 Residual          0.9616            
Number of obs: 54, groups:  Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917  

print(m2a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (1 | Worker) + (1 | Worker:Machine)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 215.6876
Random effects:
 Groups         Name        Std.Dev.
 Worker:Machine (Intercept) 3.7295  
 Worker         (Intercept) 4.7811  
 Residual                   0.9616  
Number of obs: 54, groups:  Worker:Machine, 18; Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917

Qualcuno può spiegare la differenza tra i modelli e come si m1riduce a m2(data simmetria composta) in modo intuitivo?

In questo esempio, ci sono tre osservazioni per ogni combinazione delle tre macchine (A, B, C) e i sei lavoratori. Userò per indicare una matrice di identità n- dimensionale e 1 n per indicare un vettore n- dimensionale di quelli. Diciamo che y è il vettore delle osservazioni, che suppongo sia ordinato dal lavoratore, quindi la macchina quindi si replica. Sia μ il valore atteso corrispondente (es. Gli effetti fissi) e sia γ un vettore di deviazioni specifiche del gruppo dai valori attesi (es. Gli effetti casuali). In base a γ , il modello per y può essere scritto:$I_n$$n$$1_n$$n$$y$$\mu$$\gamma$$\gamma$$y$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu + \gamma, \sigma^2_y I_{54})$$

dove è la varianza "residua".$\sigma^2_y$

Per capire come la struttura della covarianza degli effetti casuali induca una struttura di covarianza tra le osservazioni, è più intuitivo lavorare con l'equivalente rappresentazione "marginale" , che si integra con gli effetti casuali . La forma marginale di questo modello è,$\gamma$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_y I_{54} + \Sigma)$$

Qui, è una matrice di covarianza che dipende dalla struttura di γ (ad es. I "componenti di varianza" alla base degli effetti casuali). Mi riferirò a Σ come covarianza "marginale".$\Sigma$$\gamma$$\Sigma$

Nel tuo m1, gli effetti casuali si decompongono come:

$$\gamma = Z \theta$$

Dove $Z = I_{18} \otimes 1_3$ è una matrice di disegno che mappa i coefficienti casuali su osservazioni e è il vettore 18-dimensionale dei coefficienti casuali ordinati dal lavoratore quindi dalla macchina ed è distribuito come:$\theta^T = [\theta_{1,A}, \theta_{1,B}, \theta_{1,C} \dots \theta_{6,A}, \theta_{6,B}, \theta_{6,C}]$

$$\theta \sim \mathcal{N}(0, I_6 \otimes \Lambda)$$

Qui è la covarianza dei coefficienti casuali. L'assunzione della simmetria composta significa che Λ ha due parametri, che chiamerò σ θ e τ , e la struttura:$\Lambda$$\Lambda$$\sigma_\theta$$\tau$

$$\Lambda = \left[\begin{matrix} \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 \end{matrix}\right]$$

(In altre parole, la matrice di correlazione sottostante ha tutti gli elementi sulla diagonale impostati sullo stesso valore.)$\Lambda$

La struttura di covarianza marginale indotta da questi effetti casuali è , quindi la varianza di una data osservazione è σ 2 θ { $\Sigma = Z (I_6 \otimes \Lambda) Z^T$ e la covarianza tra due osservazioni (separate) dai lavoratori i , j e macchine u , v è: c o v ( y i , u , y j , v ) $\sigma^2_\theta + \tau^2 + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \tau^2 & \text{if } i=j, u\neq v \\ \sigma^2_\theta + \tau^2 & \text{if } i=j, u=v \end{cases}$$

Per te m2, gli effetti casuali si decompongono in:

$$\gamma = Z \omega + X \eta$$

$X = I_6 \otimes 1_9$$\omega^T = [\omega_{1,A}, \omega_{1,B}, \omega_{1,C}, \dots, \omega_{6,A}, \omega_{6,B}, \omega_{6,C}]$$\eta^T = [\eta_{1}, \dots, \eta_{6}]$

$$\eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\eta I_6)$$ $$\omega \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\omega I_{18})$$ $\sigma_\eta^2, \sigma_\omega^2$

m2$\Sigma = \sigma^2_\omega Z Z^T + \sigma^2_\eta X X^T$$\sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \sigma_\eta^2 & \text{if } i=j,u\neq v \\ \sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta & \text{if } i=j,u=v \end{cases}$$

$\sigma^2_\theta \equiv \sigma^2_\omega$$\tau^2 \equiv \sigma^2_\eta$ m1

La brevità non è il mio punto di forza: questo è solo un modo lungo e contorto per dire che ogni modello ha due parametri di varianza per gli effetti casuali e sono solo due modi diversi di scrivere dello stesso modello "marginale".

Nel codice ...

sigma_theta <- 1.8
tau         <- 0.5
sigma_eta   <- tau
sigma_omega <- sigma_theta
Z <- kronecker(diag(18), rep(1,3))
rownames(Z) <- paste(paste0("worker", rep(1:6, each=9)), 
                     rep(paste0("machine", rep(1:3, each=3)),6))
X <- kronecker(diag(6), rep(1,9))
rownames(X) <- rownames(Z)
Lambda <- diag(3)*sigma_theta^2 + tau^2

# marginal covariance for m1:
Z%*%kronecker(diag(6), Lambda)%*%t(Z)
# for m2:
X%*%t(X)*sigma_eta^2 + Z%*%t(Z)*sigma_omega^2