Var (X) è noto, come calcolare Var (1 / X)?

Se ho solo $\mathrm{Var}(X)$ , come posso calcolare $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$?

Non ho alcuna informazione sulla distribuzione di $X$ , quindi non posso usare la trasformazione, o di qualsiasi altro metodo che utilizzano la distribuzione di probabilità di $X$ .

È impossibile.

Considera una sequenza $X_n$ di variabili casuali, dove

$$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$$

Poi:

$$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$$

Ma avvicina a zero mentrenva all'infinito:$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$$n$

$$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$$

Questo esempio usa il fatto che è invariante nelle traduzioni di X , ma V a r ( $\Var(X)$$X$non lo è.$\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

Ma anche se assumiamo , non possiamo calcolare V a r ( $\mathrm{E}(X)=0$: Let$\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

$$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

e

$$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$$

Quindi avvicina a 1 come n va all'infinito, ma V a r ( $\Var(X_n)$$n$per tutton.$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$$n$

È possibile utilizzare le serie di Taylor per ottenere un'approssimazione dei momenti di ordine inferiore di una variabile casuale trasformata. Se la distribuzione è abbastanza "stretta" attorno alla media (in un certo senso), l'approssimazione può essere piuttosto buona.

Quindi per esempio

$$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$$

così

$$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$$

spesso viene preso solo il primo termine

$$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$$

In questo caso (supponendo che non abbia commesso un errore), con ,Var[$g(X)=\frac{1}{X}$.$\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia: espansioni di Taylor per i momenti di funzioni di variabili casuali

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Alcuni esempi per illustrare questo. Genererò due campioni (distribuiti in gamma) in R, uno con una distribuzione "non così stretta" sulla media e uno un po 'più stretto.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

L'approssimazione suggerisce che la varianza di dovrebbe essere vicina$1/a$$(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

Calcolo algebrico ha che la varianza effettiva popolazione è $1/648 \approx 0.00154$

Ora per quello più stretto:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

L'approssimazione suggerisce che la varianza di dovrebbe essere vicina a ( $1/a$$(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

$\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$