Rapporto tra la somma di Normale e la somma di cubi di Normale

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Aiutami a trovare la distribuzione limitante (come ) di quanto segue: dove sono iid . $n \rightarrow \infty$

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— Arunangshu Biswas
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Hai provato a guardare le trasformazioni di variabili casuali? Ad esempio, si potrebbero provare funzioni caratteristiche, trasformazioni di Laplace-Stieltjes, eccetera.

— Stijn,

1

Suggerimento: il numeratore e il denominatore sono asintoticamente bivariati normali. Puoi calcolare i loro momenti direttamente: i loro mezzi sono ovviamente zero, la varianza del numeratore è , la varianza del denominatore è e la covarianza è . (Pertanto la correlazione è .) Per trovare la distribuzione limitante, esprimere qualsiasi normale bivariata a media zero nella forma per zero indipendente -mette normali e e costante , quindi nota che il rapporto è una distribuzione di Cauchy in scala spostata.

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

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Se la formulazione era dove e sono indipendenti, sarebbe solo un classico esercizio da manuale. Si utilizza il fatto che e possiamo concludere che gli asintoti alla distribuzione in scala di Cauchy.

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

Ma nella tua formulazione, non possiamo applicare il teorema a causa della dipendenza. Il mio Monte-Carlo suggerisce che la distribuzione limite di è non degenerata e non ha un primo momento e non è simmetrica. Sarei interessato a sapere se esiste una soluzione esplicita a questo problema. Sento che la soluzione può essere scritta solo in termini di processo di Wiener. $U_n$

[EDIT] Seguendo il suggerimento di Whuber, nota che

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$ dove notando che ed . (momenti di normale normale, per pari ) Quindi, mediante il teorema di mappatura continua, abbiamo Notando che possiamo scrivere dove e indipendente da , concludiamo che dove

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Giulio
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Alcuni commenti, non una soluzione completa. Questo è un desiderio lungo per un commento, ma in realtà solo un commento. Alcune proprietà della soluzione. Dal momento che è standard normale, che è una distribuzione simmetrica (circa zero), avrà anche distribuzioni simmetriche e le somme di camper simmetriche (indipendenti) saranno simmetriche. Quindi questo è un rapporto con il numeratore e il denominatore entrambi simmetrici, quindi sarà simmetrico. Il denominatore avrà una densità continua che è positiva a zero, quindi ci aspettiamo che il rapporto manchi di aspettativa (È un risultato generale che se è una variabile casuale con densità continua positiva a zero, allora mancherà di aspettativa Vedi $X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ Ho sentito che rapporti o inversioni di variabili casuali spesso sono problematici, non avendo aspettative. Perché? ). Ma qui c'è dipendenza tra numeratore e denominatore che complica la questione ... (Chiaramente ha bisogno di più pensiero qui).

L'interessante documento https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176991795 mostra che sopra, il cubo di variabili normali standard, ha una distribuzione indeterminata "in senso hamburger", cioè è non determinato dai suoi momenti! Quindi il commento sopra sull'uso delle trasformazioni potrebbe indicare un modo difficile di procedere! $x_i^3$

— kjetil b halvorsen
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