MLE del parametro location in una distribuzione di Cauchy

Dopo il centraggio, si può presumere che le due misurazioni x e -x siano osservazioni indipendenti da una distribuzione di Cauchy con funzione di densità di probabilità:

$f(x :\theta) =$ $1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

Mostra che se $x^2≤ 1$ l'MLE di $\theta$ è 0, ma se $x^2>1$ ci sono due MLE di $\theta$ , pari a ± $\sqrt {x^2-1}$

Penso di trovare l'MLE che devo differenziare la probabilità di log:

$dl\over d\theta$ $=\sum$ $2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ + $2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ $2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Così,

$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

che ho poi semplificato fino a

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Ora ho colpito un muro. Probabilmente ho sbagliato ad un certo punto, ma in entrambi i casi non sono sicuro di come rispondere alla domanda. Qualcuno può aiutare?

— user123965
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Per favore, spiega perché hai diviso x in -x e + x? Questi sono i miei compiti e mi sto bloccando in quel passaggio. Immagino tu abbia applicato il Metodo Raphson di Newton. Ma non capisco come applicarlo. Me lo dirai per favore?

— user89929

C'è un errore di matematica nei tuoi calcoli. La condizione del primo ordine per un massimo è:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial θ} = 0 & \Rightarrow \frac{2 (x + θ)}{1 + (x + θ)^{2}} - \frac{2 (x - θ)}{1 + (x - θ)^{2}} & = 0 \\ \Rightarrow (x + θ) + (x + θ) (x - θ)^{2} - (x - θ) - (x - θ) (x + θ)^{2} & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ + (x + θ) (x - θ) [x - θ - (x + θ] & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x + θ) (x - θ) = 0 \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x^{2} - θ^{2}) & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ (1 - x^{2} + θ^{2}) = 0 \Rightarrow 2 θ (θ^{2} + (1 - x^{2})) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$

Se allora il termine tra parentesi non può essere pari a zero (per soluzioni reali naturalmente), così si sono lasciati solo con la soluzione . $x^2\leq 1$ $\hat \theta =0$

Se hai quindi, a parte il punto candidato ottieni anche $x^2 >1$ $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ $\theta =0$

\frac{\partial L}{\partial θ} = 0, for \hat{θ} = \pm \sqrt{x^{2} - 1}

$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$

Hai anche di giustificare il motivo per cui in questo caso non è più un MLE. $\hat \theta =0$

ADDENDUM

Per il grafico della probabilità logaritmica è $x =\pm 0.5$ enter image description here

$x =\pm 1.5$ enter image description here

Ora tutto ciò che devi fare è dimostrarlo algebricamente e poi chiederti "bene, sai quale dei due dovrei scegliere?"

— Alecos Papadopoulos
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Grazie! Non riesco a capire perché

θ = 0

$\theta=0$ non sarebbe più un MLE però

— user123965

Lavora al massimo al 2 ° ordine o valuta la probabilità con le soluzioni candidate

— Alecos Papadopoulos

+1 ottima risposta. Inoltre, potrebbe essere interessante: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…

— random_user

@random_user Grazie! - Mi sono preso la libertà di incorporare la trama nella risposta.

— Alecos Papadopoulos,

Secondo derivato positivo quindi un minimo locale

— Alecos Papadopoulos,