Le prove che il permanente non è in uniforme relativizzano?

Questo è un seguito a questa domanda ed è correlato a questa domanda di Shiva Kinali.

Sembra che le prove in questi articoli ( Allender , Caussinus-McKenzie-Therien-Vollmer , Koiran-Perifel ) utilizzino teoremi di gerarchia. Voglio sapere se le prove sono " puri " teoremi di diagonalizzazione o se usano qualcosa di più della solita diagonalizzazione. Quindi la mia domanda è

esiste una ragionevole relativizzazione che mette permanente in uniforme ? $\mathsf{TC^0}$

Nota che non sono sicuro di come definire l'accesso all'oracolo per uniform , so che trovare la definizione corretta per le classi di piccola complessità non è banale. Un'altra possibilità è che il permanente non sia completo per nell'universo relativizzato, nel qual caso dovrei usare qualche problema completo per nell'universo relativizzato al posto di esso, e penso dovrebbe avere un problema completo in qualsiasi universo relativizzato ragionevole. $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{\#P}$ $\mathsf{\#P}$ $\mathsf{\#P}$

— Kaveh
fonte

Come si definisce una versione relativizzata del permanente? Oppure stai cercando un mondo relativizzato in cui PP⊆TC ^ 0?

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: Il problema è che non sono sicuro circa la prova che l'essere permanente completa per

. Mi sembra che la prova che il permanente non sia in uniforme

funzioni anche per qualsiasi altro problema completo. Una relativizzazione ragionevole che mette

all'interno

sarebbe rispondere alla mia domanda.

s h a r p P

$sharpP$

T C^{0}

$TC^0$

s h a r p P

$sharpP$

T C^{0}

$TC^0$

— Kaveh,

Non sono sicuro di cosa intendi per relativizzazione "ragionevole". Per due classi di complessità, è possibile renderle uguali prendendo un oracolo abbastanza forte, no? Es

. (La prima classe è con "QBF gates".)

A C 0^{P S P A C E} = P S P A C E = P S P A C E^{P S P A C E}

$AC0^{PSPACE} = PSPACE = PSPACE^{PSPACE}$

A C 0

$AC0$

— Ryan Williams

@Ryan: ho pensato che il modo in cui si definisce l'accesso all'oracolo sia importante, e se la definizione non è corretta possono accadere cose strane. Ad esempio, vedi questo cs.toronto.edu/~sacook/homepage/rel-web.ps . (nota: non ricordavo che discutessero anche di

). Una macchina con più risorse può porre domande più complicate di una più ristretta dallo stesso oracolo e questa è la ragione per cui non abbiamo un (ragionevole ) relativizzazione che renderebbe DTime (n) = DTime (

), quindi mi sembra che non sia così semplice come dici tu, vero?

T C^{0}

$TC^0$

n^{2}

$n^2$

— Kaveh,

(gerarchia del tempo di log)

, quindi non dovrebbe esserci una ragionevole relativizzazione che renderebbe

. Sento che probabilmente c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento nella riga precedente, sappiamo

A C^{0} = L H

$AC^0 = LH$

\subset P H \subseteq P S p a c e

$\subset PH \subseteq PSpace$

A C^{0} = P S p a c e

$AC^0 = PSpace$

L H \subset P H

$LH \subset PH$

— Kaveh,

Qualsiasi separazione di classi chiuse sotto "risorse polinomiali" ha un oracolo che le rende uguali. (Questo a condizione che il meccanismo dell'oracolo sia corretto e consenta a entrambi i modelli di macchina di eseguire query sulla lunghezza polinomiale e non di più.)

Sia " con porte per l'oracolo ". Lasciando essere un lingua -complete sotto riduzioni, abbiamo , dove nel meccanismo oracolo per $TC0^{O}$ $TC0$ $O$ $O$ $PSPACE$ $TC0$ $TC0^{O} = PSPACE = PSPACE^{O} = PP^{O}$ , contiamo l'uso dello spazio del nastro dell'oracolo insieme al resto della memoria. (Quindi vengono poste solo domande di lunghezza polinomiale.) Tale uguaglianza vale per molte classi "chiuse sotto risorse polinomiali", nel senso che possono fare domande di lunghezza polinomiale a un oracolo, ma non più grande. Queste classi includono elementi come , , (sotto un meccanismo oracolare diverso che non conta le query oracolari verso il limite dello spazio), , , e $PSPACE$ $AC0$ $TC0$ $LOGSPACE$ $P$ $NP$ $PH$ . Pertanto, qualsiasi separazione di classi in questo elenco deve necessariamente utilizzare una sorta di argomento "non relativizzante". Ciò implica anche (ad esempio) che le prove naturali di cose come Parity non in non sono relativizzanti (ma questo è ancora più semplice: tutto ciò che serve qui è un oracolo per la parità, quindi ottieni ). $PP$ $AC0$ $AC0[2]$

Nella raccolta di prove che citi, credo che la maggior parte di esse (se non tutte) funzionino assumendo e derivando una contraddizione. Questi tipi di risultati sono chiamati "diagonalizzazione indiretta". Quindi, una relativizzazione della loro prova avrebbe dovuto dire: "Se , quindi contraddizione ...", ma questa ipotesi è in realtà vero per alcuni oracoli . $TC0 = PP$ $TC0^{O} = PP^{O}$ $O$

Nei commenti, è stato sottolineato che nel modo in cui lo sto usando. Queste sono solo sottigliezze con il meccanismo dell'oracolo. Sul lato LOGSPACE, il nastro delle query non può far parte del limite di spazio, poiché le query hanno una lunghezza polinomiale. Sul lato PSPACE, il nastro di query è $LOGSPACE^{O} = PSPACE^{O}$ preso come parte del limite dello spazio. Questo doveva rendere le cose "giuste". Ma se dai loro esattamente lo stesso meccanismo dell'oracolo, allora puoi separarli di nuovo per diagonalizzazione. Ad esempio, se le query non contano ai fini dello spazio limitato, in PSPACE ^ {PSPACE} è possibile porre domande esponenzialmente lunghe a PSPACE, quindi in realtà contiene EXPSPACE. Mi scuso per non averlo detto esplicitamente prima.

Il calcolo limitato dallo spazio è molto sottile rispetto agli oracoli. Vedi la pagina 5 di questo articolo di Fortnow per un buon riassunto del perché l'oracolo e il calcolo limitato allo spazio non sempre si mescolano.

— Ryan Williams
fonte

Grazie per il commento su PSPACE ^ {PSPACE} contenente EXPSPACE nel modello che abbiamo usato per LOGSPACE. La mia confusione è stata cancellata.

— Robin Kothari,

Vedi anche Aehlig, Cook e Nguyen, Relativizzare classi di piccola complessità e le loro teorie .

— Yuval Filmus,