Svantaggi di schemi di discretizzazione comuni per le simulazioni CFD

L'altro giorno, il mio istruttore di fluidodinamica computazionale era assente e ha inviato il suo dottorando in sostituzione di lui. Nella lezione che ha tenuto, sembrava indicare diversi svantaggi associati a vari schemi di discretizzazione per le simulazioni del flusso di fluidi:

Metodo delle differenze finite: è difficile soddisfare la conservazione e applicare geometrie irregolari

Metodo del volume finito: tende a essere distorto verso i bordi e la fisica unidimensionale.

Metodo degli elementi finiti: è difficile risolvere equazioni iperboliche usando FEM.

Galerkin discontinuo: è il migliore (e il peggio) di tutti i mondi.

Suddivisione delle fluttuazioni: non sono ancora ampiamente applicabili.

Dopo la lezione, ho provato a chiedergli dove avesse ottenuto queste informazioni ma non ha specificato alcuna fonte. Ho anche cercato di convincerlo a chiarire cosa intendesse dire DG come "il migliore e il peggio di tutti i mondi", ma non sono riuscito a ottenere una risposta chiara. Posso solo supporre che sia giunto a queste conclusioni dalla sua esperienza.

Dalla mia esperienza, posso solo verificare la prima affermazione che FDM è difficile da applicare alle geometrie irregolari. Per tutte le altre affermazioni, non ho esperienza sufficiente per verificarle. Sono curioso di sapere quanto siano precisi questi "svantaggi" dichiarati per le simulazioni CFD in generale.

Le caratteristiche proposte sono ragionevoli nel senso che rappresentano approssimativamente l'opinione popolare. Questa domanda ha una portata enorme, quindi ora farò solo alcune osservazioni. Posso elaborare in risposta ai commenti. Per discussioni correlate più dettagliate, vedere Quali sono i criteri da scegliere tra differenze finite ed elementi finiti?

• Sono disponibili prontamente metodi di differenza finiti conservativi di basso ordine per griglie non strutturate. I metodi FD non oscillatori di alto ordine sono un'altra questione. Negli schemi WENO a differenza finita, la fisica appare in una divisione del flusso che non è disponibile per tutti i solutori di Riemann.

• I metodi a volume finito funzionano bene in più dimensioni, ma per superare il secondo ordine per le strutture di flusso generali, sono necessari punti di quadratura della faccia extra e / o soluzioni trasversali di Riemann, aumentando notevolmente il costo rispetto ai metodi FD. Tuttavia, questi metodi FV possono essere applicati a mesh non lisce e non strutturate e possono utilizzare solutori Riemann arbitrari.

• I metodi a elementi finiti continui possono essere utilizzati per i CFD, ma la stabilizzazione diventa delicata. Di solito non è pratico disporre di metodi strettamente non oscillatori e la stabilizzazione richiede spesso informazioni aggiuntive come l'entropia. Quando viene utilizzata la matrice di massa coerente, il passaggio di tempo esplicito diventa molto più costoso. I metodi continui di Galerkin non sono conservatori a livello locale, il che causa problemi per forti shock. Vedi anche Perché la conservazione locale è importante quando si risolvono le PDE?

• I metodi discontinui di Galerkin possono utilizzare qualsiasi solutore Riemann per collegare elementi. Hanno proprietà intrinseche di stabilità non lineari migliori rispetto agli altri metodi comuni. La DG è anche piuttosto complicata da implementare e non è generalmente monotona all'interno di un elemento. Esistono limiti per la DG che garantiscono positività o un principio massimo.

• Esistono altri metodi come la differenza spettrale (ad es. Wang et al 2007 o Liang et al 2009 ) che hanno il potenziale per essere molto efficienti (come la differenza finita), pur avendo una maggiore flessibilità geometrica e un'elevata precisione dell'ordine.

I flussi di numeri di High Reynolds hanno sottili strati limite, che richiedono elementi altamente anisotropi per risolvere in modo efficiente. Per elementi incomprimibili o quasi incomprimibili, ciò causa notevoli problemi a molte discretizzazioni. Per ulteriori discussioni, principalmente dal punto di vista dei metodi agli elementi finiti, vedere Quali discretizzazioni spaziali funzionano per un flusso incomprimibile con maglie di contorno anisotrope?

Per problemi costanti, la capacità di utilizzare in modo efficiente il multigrid non lineare (FAS) è interessante. I metodi FD, FV e DG possono generalmente utilizzare FAS in modo efficiente perché, in termini approssimativi,

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

Questo rapporto è spesso superiore a 10 per i metodi a elementi finiti continui. Tuttavia, questo rapporto non è sufficiente per un FAS efficiente con levigatori puntuali o elementali. È anche necessario avere un discretizzazione -elliptic utilizzare per la correzione dei difetti, o altrimenti modificare il ciclo multigrid. Per ulteriori discussioni, vedi Esiste un algoritmo multigrid che risolve i problemi di Neumann e ha un tasso di convergenza indipendente dal numero di livelli? Una risposta positiva a questa domanda di ricerca offrirebbe potenzialmente un FAS efficiente per elementi finiti continui.$h$

In breve per DG:

Una conseguenza del rilassamento dei requisiti di continuità oltre i limiti degli elementi è che il numero di variabili nella DG-FEM è maggiore rispetto alla controparte continua per lo stesso numero di elementi.

D'altra parte a causa della formulazione locale (in termini di elementi) abbiamo i seguenti vantaggi:

• I termini non stazionari e di origine sono completamente disaccoppiati tra gli elementi. Le matrici di massa possono essere invertite a livello di elemento.
• Parallelizzazione più semplice.
• I perfezionamenti adattativi (h-, p- e hp) sono semplificati: non è necessario rinumerare i nodi a livello globale.