Quando dovrebbero essere usati metodi impliciti nell'integrazione di PDE iperbolici?

I metodi numerici per la risoluzione di PDE (o ODE) rientrano in due grandi categorie: metodi espliciti e impliciti. I metodi impliciti consentono timestep più stabili ma richiedono più lavoro per fase. Per i PDE iperbolici, la saggezza comune è che i metodi impliciti di solito non pagano perché l'uso di timestep più grandi di quelli consentiti dalla condizione CFL porta a risultati molto imprecisi. Tuttavia, in alcuni casi vengono utilizzati metodi impliciti. Per una determinata applicazione, come si dovrebbe scegliere se utilizzare un metodo esplicito o implicito?

La domanda centrale è quali processi fisici (onde o termini sorgente) hanno scale temporali che ti interessano risolvere e quali preferiresti scavalcare. Se non sei interessato alla scala dei tempi più veloce nel sistema, le equazioni sono chiamate "rigide". Le leggi di conservazione iperbolica sono in genere scritte come sistemi di primo ordine

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

dove contiene variabili conservate, F è il flusso e G è chiamato "termine sorgente". Si noti che con questa terminologia, il flusso F non contiene derivati, quindi termini diffusive e dispersive deve andare in G . È abbastanza comune usare l'integrazione implicita o semi-implicita quando i termini di origine sono rigidi, come con molti problemi di reazione chimica e quando è presente diffusione o dispersione. La reazione chimica di solito può essere implicitamente risolta localmente in ciascun elemento poiché non è accoppiata alle cellule vicine.$u$$F$$G$$F$$G$

$A = [\partial F/\partial u]$

Ad esempio, se stai simulando l'evoluzione a lungo termine di un oceano, potresti non essere interessato alle onde di gravità di superficie (ad esempio tsunami). Sfortunatamente, cambiando la velocità dell'onda (o rallentandola per usare metodi espliciti o accelerandola fino a un modello a "coperchio rigido" che può usare una proiezione) cambia la fisica cambiando il modo in cui i vortici si propagano. I vortici nell'oceano sono un effetto in cui l'onda di gravità è quasi bilanciata con la convezione, ma non del tutto.

Un altro esempio è Euler comprimibile, ad esempio il flusso d'aria attraverso un data center. La velocità dell'onda acustica è molto più veloce della convezione e solo quest'ultima è importante per il trasferimento di calore. Se non sei interessato all'acustica, potresti voler utilizzare un metodo implicito.

L'efficienza relativa di un metodo implicito dipende dal costo per risolvere i sistemi algebrici in ogni fase / fase rispetto alla dimensione della fase che può essere utilizzata con metodi espliciti. La risoluzione efficiente di tali sistemi algebrici è un argomento attivo di ricerca. (Fai un'altra domanda e risponderò e farò riferimento da qui.)

Puoi anche utilizzare metodi impliciti se:

• le tue equazioni hanno stati stazionari significativi che vuoi esplorare direttamente, forse per caratterizzare la stabilità
• stai risolvendo problemi di assimilazione inversa / dati che coinvolgono una lunga storia
• si desidera aggirare le barriere dell'ordine per utilizzare metodi di integrazione con tempi di ordine molto elevati con determinate proprietà di stabilità
• stai usando metodi adattativi spazio-tempo
• stai usando una discretizzazione spaziale che richiede già di risolvere un sistema algebrico (ad es. metodi a elementi finiti continui con matrice di massa coerente)