Distribuzione della somma degli esponenziali

Permettere $X_1$ e $X_2$ essere variabili casuali esponenziali indipendenti e identicamente distribuite con rate $\lambda$ . Permettere $S_2 = X_1 + X_2$ .

Q: Dimostralo $S_2$ ha PDF $f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x},\, x\ge 0$ .

Si noti che se gli eventi si sono verificati secondo un processo di Poisson (PP) con velocità $\lambda$ , $S_2$ rappresenterebbe l'ora del secondo evento.

Sono apprezzati approcci alternativi. Gli approcci forniti sono comunemente usati nell'apprendimento della teoria delle code e dei processi stocastici.

Richiamare la distribuzione esponenziale è un caso speciale della distribuzione gamma (con parametro shape $1$ ). Ho imparato che esiste una versione più generale di questo qui che può essere applicata.

— SecretAgentMan
fonte

Questa domanda è un caso molto speciale (e uno dei più semplici esempi possibili) di una somma di distribuzioni Gamma. (L'esponenziale è una distribuzione gamma con un parametro di forma di

1.

$1.$ ) Pertanto, è possibile applicare una qualsiasi delle risposte all'indirizzo stats.stackexchange.com/questions/72479 .

— whuber

Grazie. Non ero a conoscenza di quella domanda più generale , anche se sapevo che Exponential è una distribuzione Gamma con un parametro di forma di 1. Spero che accetti che questo Q / A sia ok così com'è e non debba essere eliminato. Questa è una domanda molto frequente in alcune discipline ingegneristiche ed è certamente più accessibile che saltare direttamente all'aggiunta di distribuzioni Gamma.

— SecretAgentMan,

@whuber Ho aggiornato la domanda menzionando specificamente la domanda più generale. Grazie.

— SecretAgentMan,

Per i motivi che hai indicato e poiché hai offerto un resoconto chiaro delle soluzioni che funzionano specificamente in questo caso, non ho votato per chiuderlo come duplicato.

— whuber

Penso che il voto sulla tua domanda e la tua risposta abbiano chiaramente indicato cosa pensa la comunità di questo thread. :-)

— whuber

Condizioni di approccio al
condizionamento sul valore di $X_1$ . Inizia con la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) per $S_2$ .

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= \int_0^\infty P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_2 \le x - x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x\left(1-\text{e}^{-\lambda(x-x_1)}\right)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1\\ &=(1-e^{-\lambda x}) - \lambda x e^{-\lambda x}\end{align}$

Questo è il CDF della distribuzione. Per ottenere il PDF, differenziare rispetto a $x$ ( vedi qui ).

f_{S_{2}} (X) = λ^{2} X e^{- λ X} ◻

$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

Questo è un Erlang $(2,\lambda)$ distribuzione (vedi qui) .

Approccio generale
Integrazione diretta basandosi sull'indipendenza di $X_1$ & $X_2$ . Ancora una volta, inizia con la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) per $S_2$ .

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= P\left( (X_1,X_2)\in A \right) \quad \quad \text{(See figure below)}\\ &= \int\int_{(x_1,x_2)\in A} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)dx_1 dx_2 \\ &(\text{Joint distribution is the product of marginals by independence}) \\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_1 dx_2\\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} \lambda \text{e}^{-\lambda x_1}\lambda \text{e}^{-\lambda x_2}dx_1 dx_2\\ \end{align}$

Poiché si tratta del CDF, la differenziazione fornisce il PDF, $f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

Approccio MGF
Questo approccio utilizza la funzione di generazione del momento (MGF).

$\begin{align} M_{S_2}(t) &= \text{E}\left[\text{e}^{t S_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t(X_1 + X_2)}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1 + t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1} \text{e}^{t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1}\right]\text{E}\left[\text{e}^{t X_2}\right] \quad \text{(by independence)} \\ &= M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \quad t<\lambda\\ &= \frac{\lambda^2}{(\lambda-t)^2} \quad \quad t<\lambda \end{align}$

Sebbene ciò potrebbe non produrre il PDF, una volta che MGF corrisponde a quello di una distribuzione nota, anche il PDF è noto.

— SecretAgentMan
fonte

Hai scritto sia la domanda che la risposta. Qual è il tuo punto, se posso chiedere?

— Xi'an,

@ Xi'an, ho pensato che SE abbia incoraggiato a porre la domanda e a rispondere ... Posso fare uno screenshot dove SE sembra incoraggiarlo per te se vuoi. Ho visto molte domande di base ripetutamente poste e ho pensato di pubblicare alcuni approcci specifici a cui fare riferimento le persone. Non sono riuscito a trovare qualcosa del genere e posso riferire le persone a questo per una varietà di cose. Se la community CV odia davvero così tanto questo post, lo eliminerò volontariamente.

— SecretAgentMan,

@ Xi'an, Rispettosamente, credo che entrambi abbiate chiesto e risposto a una domanda qui .

— SecretAgentMan,

@ Xi'an Potresti voler leggere stats.stackexchange.com/help/self-answer

— Sycorax dice

@Alex bella domanda. Non stavo pensando di ottenere PDF analiticamente da MGF. Invece, se identifichi MGF, hai risolto il problema (vedi la mia modifica).

— SecretAgentMan