Condizioni di approccio al
condizionamento sul valore diX1. Inizia con la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) perS2.
FS2(x)=P(S2≤x)=P(X1+X2≤x)=∫∞0P(X1+X2≤x|X1=x1)fX1(x1)dx1=∫x0P(X1+X2≤x|X1=x1)λe−λx1dx1=∫x0P(X2≤x−x1)λe−λx1dx1=∫x0(1−e−λ(x−x1))λe−λx1dx1=(1−e−λx)−λxe−λx
Questo è il CDF della distribuzione. Per ottenere il PDF, differenziare rispetto aX( vedi qui ).
fS2( x ) =λ2Xe- λ x□
Questo è un Erlang( 2 , λ )distribuzione (vedi qui) .
Approccio generale
Integrazione diretta basandosi sull'indipendenza diX1 & X2. Ancora una volta, inizia con la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) perS2.
FS2( x )= P(S2≤ x )= P(X1+X2≤ x )= P( (X1,X2) ∈ A )(Vedi figura sotto)= ∫∫(X1,X2) ∈ AfX1,X2(X1,X2) dX1dX2( La distribuzione congiunta è il prodotto dei marginali per indipendenza )=∫X0∫x -X20fX1(X1)fX2(X2) dX1dX2=∫X0∫x -X20λe- λX1λe- λX2dX1dX2
Poiché si tratta del CDF, la differenziazione fornisce il PDF, fS2( x ) =λ2Xe- λ x□
Approccio MGF
Questo approccio utilizza la funzione di generazione del momento (MGF).
MS2( t )= E [etS2]= E [et (X1+X2)]= E [etX1+ tX2]= E [etX1etX2]= E [etX1] E [etX2](per indipendenza)=MX1( t )MX2( t )= (λλ - t) (λλ - t)t < λ=λ2( λ - t)2t < λ
Sebbene ciò potrebbe non produrre il PDF, una volta che MGF corrisponde a quello di una distribuzione nota, anche il PDF è noto.