Perché la distribuzione Cauchy è così utile?

Qualcuno potrebbe darmi alcuni esempi pratici della distribuzione di Cauchy? Cosa lo rende così popolare?

Oltre alla sua utilità in fisica, la distribuzione di Cauchy è comunemente usata nei modelli finanziari per rappresentare le deviazioni nei rendimenti dal modello predittivo. La ragione di ciò è che i professionisti della finanza sono cauti nell'utilizzare modelli che hanno distribuzioni leggere (ad esempio, la distribuzione normale) sui loro rendimenti, e generalmente preferiscono andare dall'altra parte e usare una distribuzione con code molto pesanti (ad es. , il Cauchy). La storia della finanza è disseminata di previsioni catastrofiche basate su modelli che non avevano code abbastanza pesanti nelle loro distribuzioni. La distribuzione di Cauchy ha code sufficientemente pesanti che i suoi momenti non esistono, e quindi è un candidato ideale per dare un termine di errore con code estremamente pesanti.

Si noti che questo problema della gravità delle code in termini di errore nei modelli finanziari è stato uno dei contenuti principali della critica popolare di Taleb (2007) . In quel libro, Taleb sottolinea casi in cui i modelli finanziari hanno utilizzato la normale distribuzione per termini di errore, e osserva che ciò sottostima la vera probabilità di eventi estremi, che sono particolarmente importanti nella finanza. (A mio avviso, questo libro fornisce una critica esagerata, dal momento che i modelli che utilizzano deviazioni dalla coda pesante sono in effetti abbastanza comuni nella finanza. In ogni caso, la popolarità di questo libro mostra l'importanza della questione.)

$X \sim N(0,1)$$Y \sim N(0,1)$$\tfrac{X}{Y} \sim \operatorname{Cauchy}(0,1)$

La distribuzione di Cauchy è importante in fisica (dove è conosciuta come la distribuzione di Lorentz) perché è la soluzione all'equazione differenziale che descrive la risonanza forzata. Nella spettroscopia, è la descrizione della forma delle linee spettrali che sono soggette a un ampliamento omogeneo in cui tutti gli atomi interagiscono allo stesso modo con la gamma di frequenza contenuta nella forma della linea.

applicazioni:

• Utilizzato in teoria meccanica ed elettrica, antropologia fisica e problemi di misurazione e calibrazione.

• In fisica si chiama distribuzione lorentziana, dove è la distribuzione dell'energia di uno stato instabile nella meccanica quantistica.

• Utilizzato anche per modellare i punti di impatto di una linea retta fissa di particelle emesse da una sorgente puntuale.

Fonte .