Se le distribuzioni con gli stessi momenti sono identiche

Di seguito sono simili ma diversi dai post precedenti qui e qui

Date due distribuzioni che ammettono i momenti di tutti gli ordini, se tutti i momenti di due distribuzioni sono uguali, allora sono distribuzioni identiche?
Date due distribuzioni che ammettono le funzioni di generazione del momento, se hanno gli stessi momenti, le loro funzioni di generazione del momento sono le stesse?

— Tim
fonte

In accordo con la domanda n. 2, credo in generale, se due funzioni hanno lo stesso MGF (se esiste in un quartiere aperto di 0), seguono la stessa distribuzione. Sfortunatamente, non conosco la prova, in quanto è piuttosto complessa. Spero che aiuti un pochino.

— Nicefella,

@nicefella La dimostrazione è relativamente semplice: la valutazione dell'MGF a valori immaginari dà la funzione caratteristica che può essere invertita per produrre la distribuzione. Le opere di inversione a condizione che l'MGF sia analitico in un quartiere dell'origine.

— whuber

Lasciami rispondere in ordine inverso:

2. Sì. Se i loro MGF esistono, saranno gli stessi *.

vedi qui e qui per esempio

In effetti deriva dal risultato che dai nel post da cui proviene; se MGF determina in modo univoco ** la distribuzione e due distribuzioni hanno MGF e hanno la stessa distribuzione, devono avere lo stesso MGF (altrimenti avresti un controesempio a "MGF determinano in modo univoco le distribuzioni").

* per determinati valori di "stesso", a causa della frase "quasi ovunque"

** ' quasi ovunque '

No, poiché esistono controesempi.

Kendall e Stuart elencano una famiglia di distribuzione continua (probabilmente originariamente dovuta a Stieltjes o a qualcuno di quell'annata, ma il mio ricordo non è chiaro, sono passati alcuni decenni) che hanno sequenze di momenti identici e tuttavia sono diverse.

Il libro di Romano e Siegel (Counterexamples in Probability and Statistics) elenca i controesempi nelle sezioni 3.14 e 3.15 (pagine 48-49). (In realtà, guardandoli, penso che entrambi fossero a Kendall e Stuart.)

Romano, JP e Siegel, AF (1986),
controesempi in probabilità e statistica.
Boca Raton: Chapman and Hall / CRC.

Per 3.15 attribuiscono credito a Feller, 1971, p227

Questo secondo esempio riguarda la famiglia di densità

f (X; α) = \frac{1}{24} \exp (- X^{1 / 4}) [1 - α peccato (X^{1 / 4})], X > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

$\alpha$

$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

e quindi mostrando che la seconda parte contribuisce a 0 per ogni momento, quindi sono tutti uguali ai momenti della prima parte.

$\alpha=0$ $\alpha=0.5$

esempio di stessi momenti, densità diverse

Meglio ancora, forse, di aver preso una gamma molto più grande e di aver usato una scala della quarta radice sull'asse x, rendendo dritta la curva blu e quella verde si muove come una curva del peccato sopra e sotto di essa, qualcosa del genere:

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Le oscillazioni sopra e sotto la curva blu - sia di grandezza maggiore o minore - risultano inalterate per tutti i momenti positivi interi.

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b -Restate Monica
fonte

Grazie! Nella tua risposta alla mia seconda domanda, cosa significa "per determinati valori di" stesso "? Puoi dare dei controesempi alla mia prima domanda?

— Tim

È semplicemente un riferimento alla qualifica necessaria causata dal "quasi ovunque" che si trova nella domanda precedente. Quindi i controesempi potrebbero esaminare le funzioni di densità che erano le stesse quasi ovunque ma differivano in un sottoinsieme numerabile di punti - ti ho già dato un esempio in precedenza.

— Glen_b

Per la mia prima domanda (in base alla tua risposta sì alla mia seconda domanda e alla mia domanda nel mio post precedente), tutti i controesempi appartengono al caso quando non entrambe le distribuzioni ammettono funzioni generatrici di momenti?

— Tim

Il fatto che debba essere così è una conseguenza dell'affermazione "Se il mgf è finito in un intervallo aperto contenente zero, la distribuzione associata è caratterizzata dai suoi momenti" nella risposta del cardinale a cui credo di essere collegato. Se un mgf non è finito in questo senso, questo è l'unico modo per la distribuzione di non essere caratterizzata dai suoi momenti.

— Glen_b -Restate Monica

Alla prima domanda è stata data una risposta a stats.stackexchange.com/questions/25010/… e alla recente domanda del PO su stats.stackexchange.com/questions/84158/… . L'esempio di Feller è attribuito a Stieltjes (molto prima dell'epoca di Feller) in Stuart & Ord.

— whuber