Descriverò la soluzione più generale possibile. Risolvere il problema in questa generalità ci consente di ottenere un'implementazione del software straordinariamente compatta: bastano solo due brevi righe di Rcodice.
Scegli un vettore , della stessa lunghezza di Y , in base a qualsiasi distribuzione ti piaccia. Lasciate Y ⊥ sia i residui della regressione dei minimi quadrati di X contro Y : questo estrae il Y componente da X . Aggiungendo indietro un multiplo adeguato Y a Y ⊥ , possiamo produrre un vettore aventi una correlazione desiderata ρ con Y . Fino a una costante additiva arbitraria e costante moltiplicativa positiva - che sei libero di scegliere in qualsiasi modo - la soluzione èXYY⊥XYYXYY⊥ρY
XY;ρ=ρSD(Y⊥)Y+1−ρ2−−−−−√SD(Y)Y⊥.
(" " sta per qualsiasi calcolo proporzionale a una deviazione standard.)SD
Ecco il Rcodice funzionante . Se non si fornisce , il codice trarrà i suoi valori dalla distribuzione normale standard multivariata.X
complement <- function(y, rho, x) {
if (missing(x)) x <- rnorm(length(y)) # Optional: supply a default if `x` is not given
y.perp <- residuals(lm(x ~ y))
rho * sd(y.perp) * y + y.perp * sd(y) * sqrt(1 - rho^2)
}
Per illustrare, ho generato una casuale con 50 componenti e prodotto X Y ; ρ aventi varie correlazioni specificati con questo Y . Sono stati tutti creati con lo stesso vettore iniziale X = ( 1 , 2 , … , 50 ) . Ecco i loro grafici a dispersione. I "rugplot" nella parte inferiore di ciascun pannello mostrano il vettore Y comune .Y50XY;ρYX=(1,2,…,50)Y
C'è una notevole somiglianza tra le trame, non c'è :-).
Se desideri sperimentare, ecco il codice che ha prodotto questi dati e la figura. (Non mi sono preoccupato di usare la libertà per spostare e ridimensionare i risultati, che sono operazioni facili.)
y <- rnorm(50, sd=10)
x <- 1:50 # Optional
rho <- seq(0, 1, length.out=6) * rep(c(-1,1), 3)
X <- data.frame(z=as.vector(sapply(rho, function(rho) complement(y, rho, x))),
rho=ordered(rep(signif(rho, 2), each=length(y))),
y=rep(y, length(rho)))
library(ggplot2)
ggplot(X, aes(y,z, group=rho)) +
geom_smooth(method="lm", color="Black") +
geom_rug(sides="b") +
geom_point(aes(fill=rho), alpha=1/2, shape=21) +
facet_wrap(~ rho, scales="free")
A proposito, questo metodo generalizza prontamente a più di una : se è matematicamente possibile, troverà una X Y 1 , Y 2 , ... , Y k ; ρ 1 , ρ 2 , … , ρ k avendo specificato correlazioni con un intero insieme di Y i . Basta usare i minimi quadrati ordinari per eliminare gli effetti di tutte le Y che da X e formare una combinazione lineare adatto della Y iYXY1,Y2,…,Yk;ρ1,ρ2,…,ρkYiYiXYie i residui. (Aiuta a farlo in termini di doppia base per , che si ottiene calcolando uno pseudo-inverso. Il codice seguente utilizza l'SVD di Y per farlo.)YY
Ecco uno schizzo dell'algoritmo in R, in cui sono indicati come colonne di una matrice :Yiy
y <- scale(y) # Makes computations simpler
e <- residuals(lm(x ~ y)) # Take out the columns of matrix `y`
y.dual <- with(svd(y), (n-1)*u %*% diag(ifelse(d > 0, 1/d, 0)) %*% t(v))
sigma2 <- c((1 - rho %*% cov(y.dual) %*% rho) / var(e))
return(y.dual %*% rho + sqrt(sigma2)*e)
Quella che segue è un'implementazione più completa per coloro che desiderano sperimentare.
complement <- function(y, rho, x) {
#
# Process the arguments.
#
if(!is.matrix(y)) y <- matrix(y, ncol=1)
if (missing(x)) x <- rnorm(n)
d <- ncol(y)
n <- nrow(y)
y <- scale(y) # Makes computations simpler
#
# Remove the effects of `y` on `x`.
#
e <- residuals(lm(x ~ y))
#
# Calculate the coefficient `sigma` of `e` so that the correlation of
# `y` with the linear combination y.dual %*% rho + sigma*e is the desired
# vector.
#
y.dual <- with(svd(y), (n-1)*u %*% diag(ifelse(d > 0, 1/d, 0)) %*% t(v))
sigma2 <- c((1 - rho %*% cov(y.dual) %*% rho) / var(e))
#
# Return this linear combination.
#
if (sigma2 >= 0) {
sigma <- sqrt(sigma2)
z <- y.dual %*% rho + sigma*e
} else {
warning("Correlations are impossible.")
z <- rep(0, n)
}
return(z)
}
#
# Set up the problem.
#
d <- 3 # Number of given variables
n <- 50 # Dimension of all vectors
x <- 1:n # Optionally: specify `x` or draw from any distribution
y <- matrix(rnorm(d*n), ncol=d) # Create `d` original variables in any way
rho <- c(0.5, -0.5, 0) # Specify the correlations
#
# Verify the results.
#
z <- complement(y, rho, x)
cbind('Actual correlations' = cor(cbind(z, y))[1,-1],
'Target correlations' = rho)
#
# Display them.
#
colnames(y) <- paste0("y.", 1:d)
colnames(z) <- "z"
pairs(cbind(z, y))
